Dowód przez indukcję, że transpozycja macierzy nie zmienia jej wyznacznika.
Co dzieje się z wyznacznikiem po transpozycji macierzy?
Wyznacznik transpozycji macierzy kwadratowej jest równy wyznacznikowi macierzy, czyli |At|=|A| … Wtedy jej wyznacznikiem jest 0. Ale rząd macierzy jest taki sam jak rząd jej transpozycji, więc At ma rząd mniejszy niż n i jej wyznacznik również wynosi 0.
Czy odwrócenie macierzy zmienia wyznacznik?
Zatrzymuje, że det(AB)=det(A)det(B), więc det(A)det(A−1)=1. Innymi słowy, macierz odwracalna ma (multiplikatywnie) odwracalny wyznacznik. (Jeśli pracujesz nad polem, oznacza to po prostu, że wyznacznik jest niezerowy.)
Czy zamiana wierszy zmienia wyznacznik?
Jeśli dodamy wiersz (kolumnę) A pomnożony przez skalar k do innego wiersza (kolumny) A, to wyznacznik nie zmieni się. Jeśli zamienimy dwa wiersze (kolumny) w A, wyznacznik zmieni swój znak.