Jak sprawdzić, czy grupa jest abelowa?

2024 Autor: Fiona Howard | [email protected]. Ostatnio zmodyfikowany: 2024-01-10 06:41

Sposoby, aby pokazać, że grupa jest abelowa

• Pokaż komutator [x, y]=xyx−1y−1 [x, y]=x y x − 1 y − 1 z dwóch dowolnych elementów x, y∈G x, y ∈ G musi być identycznością.
• Pokaż, że grupa jest izomorficzna z bezpośrednim iloczynem dwóch (pod)grup abelowych.

Skąd wiesz, że grupa jest przemienna?

Jeśli prawo przemienne obowiązuje w grupie, wtedy taka grupa nazywana jest grupą abelową lub grupą przemienną. Tak więc grupa (G, ∗) jest nazywana grupą abelową lub grupą przemienną, jeśli a∗b=b∗a, ∀a, b∈G. Grupa, która nie jest abelowa nazywana jest grupą nieabelową.

Jak pokazać, że grupa nie jest abelowa?

Definicja 0.3: Grupa abelowa Jeśli grupa ma właściwość ab=ba dla każdej pary elementów aib, mówimy, że grupa jest abelowa. Grupa jest nieabelowa jeśli istnieje para elementów a i b, dla których ab=ba.

Co sprawia, że grupa nie jest abelowa?

W matematyce, a szczególnie w teorii grup, grupa nieabelowa, czasami nazywana grupą nieprzemienną, to grupa (G, ∗), w której istnieje co najmniej jedna para elementy a i b G, takie, że a ∗ b ≠ b ∗ a Ta klasa grup kontrastuje z grupami abelowymi.

Czy każda grupa jest abelowa?

Wszystkie grupy cykliczne są abelowe, ale grupa abelowa niekoniecznie jest cykliczna. Wszystkie podgrupy grupy abelowej są normalne. W grupie abelowej każdy element należy do klasy sprzężonej sam w sobie, a tablica znaków zawiera uprawnienia pojedynczego elementu znanego jako generator grup.