Twierdzenie 1 Każdy ciąg liczb rzeczywistych Cauchy'ego zbiega się do granicy.
Jak znaleźć granicę ciągu Cauchy'ego?
Dowód: Granica ciągu Cauchy'ego an=limn→∞an.
Czy każda sekwencja Cauchy'ego jest zbieżna?
Każda rzeczywista sekwencja Cauchy'ego jest zbieżna. Twierdzenie.
Czy wszystkie zbieżne sekwencje mają limit?
Dlatego dla wszystkich zbieżnych sekwencji limit jest unikalny. Notacja Załóżmy, że {an}n∈N jest zbieżny. Następnie według Twierdzenia 3.1 granica jest unikalna, więc możemy zapisać ją jako l, powiedzmy.
Czy sekwencja może zbiegać się do dwóch różnych limitów?
oznacza to, że L1 − L2=0 ⇒ L1=L2, stąd sekwencja nie może mieć dwóch różnych limitów. Dla tego ϵ, ponieważ zbiega się do L1, mamy, że istnieje indeks N1 tak, że |an −L1| N1. Jednocześnie a zbiega się do L2, a więc istnieje indeks N2 taki, że |an −L2| N2.
