Sekwencja w tym przykładzie nie była monotoniczna, ale jest zbieżna. Zauważ również, że możemy stworzyć kilka wariantów tego twierdzenia. Jeśli {an} jest ograniczone powyżej i rośnie, wtedy jest zbieżne i podobnie, jeśli {an} jest ograniczone poniżej i maleje, wtedy jest zbieżne.
Czy wszystkie sekwencje monotoniczne są zbieżne?
Sekwencja (a ) jest monotonicznym wzrostem, jeśli a +1≥ a dla wszystkich n ∈ N. Ciąg jest ściśle monotoniczny, jeśli w definicji mamy >. Podobnie definiuje się monotoniczne sekwencje malejące. ograniczona monotoniczna sekwencja wzrostowa jest zbieżna.
Czy seria musi być monotoniczna, aby była zbieżna?
Nie wszystkie ciągi ograniczone, takie jak (−1)n, są zbieżne, ale gdybyśmy wiedzieli, że ciąg ograniczony jest monotoniczny, to by się to zmieniło. jeśli ≥ an+1 dla wszystkich n ∈ N. Sekwencja jest monotonna, jeśli jest rosnąca lub malejąca. i ograniczona, wtedy jest zbieżna.
Czy ciąg nieograniczony może być zbieżny?
Więc nieograniczona sekwencja nie może być zbieżna.
Co to znaczy, że sekwencja nie jest monotoniczna?
Jeżeli sekwencja czasami rośnie, a czasami maleje i dlatego nie ma spójnego kierunku, oznacza to, że sekwencja nie jest monotoniczna. Innymi słowy, niemonotoniczna sekwencja rośnie dla części sekwencji i maleje dla innych.