Przykład: Pierścień Z liczb całkowitych Gaussa jest skończenie generowanym modułem Z, a Z jest Noetherian. Według poprzedniego twierdzenia Z jest pierścieniem Noetherian. Twierdzenie: Pierścienie z ułamków pierścieni Noetherian są Noetherian.
Czy Z X to pierścień Noetherian?
Pierścień Z[X, 1 /X] jest Noetherian ponieważ jest izomorficzny z Z[X, Y]/(XY − 1).
Dlaczego Z Noetherian?
Ale w Z jest tylko skończenie wiele ideałów, które zawierają I1, ponieważ odpowiadają one ideałom skończonego pierścienia Z/(a) z lematu 1.21. Stąd łańcuch nie może być nieskończenie długi, a zatem Z jest Noetherian.
Co to jest domena Noetherian?
Każdy główny idealny pierścień, taki jak liczby całkowite, jest Noetherian ponieważ każdy ideał jest generowany przez pojedynczy elementObejmuje to główne domeny idealne i domeny euklidesowe. Domena Dedekinda (np. pierścienie liczb całkowitych) to domena Noetherian, w której każdy ideał jest generowany przez co najwyżej dwa elementy.
Jak udowodnić, że pierścionek jest noetherian?
Twierdzenie Pierścień R jest Noetherian wtedy i tylko jeśli każdy niepusty zbiór ideałów R zawiera maksymalny element Dowód ⇐=Niech I1 ⊆ I2 ⊆··· będzie rosnący łańcuch ideałów R. Umieść S={I1, I2, …}. Jeśli każdy niepusty zbiór ideałów zawiera element maksymalny, to S zawiera element maksymalny, powiedzmy IN.
