Normalna podgrupa to podgrupa, która jest niezmienna w przypadku dowolnego elementu oryginalnej grupy: H jest normalne wtedy i tylko wtedy, gdy g H g − 1=H gHg^ {-1}=H gHg−1=H dla każdego. g \in G. Równoważnie podgrupa H z G jest normalna wtedy i tylko wtedy, gdy g H=H g gH=Hg gH=Hg dla dowolnego g ∈ G g \in G g∈G. …
Jak udowodnić, że podgrupa jest normalna?
Najlepszym sposobem udowodnienia, że podgrupa jest normalna, jest pokazanie, że spełnia ona jedną ze standardowych równoważnych definicji normalności
- Skonstruuj homomorfizm mając go jako jądro.
- Zweryfikuj niezmienność pod automorfizmami wewnętrznymi.
- Określ jego lewy i prawy kozet.
- Oblicz komutator z całą grupą.
Jak to się nazywa normalna podgrupa?
W algebrze abstrakcyjnej, normalna podgrupa (znana również jako podgrupa niezmiennicza lub podgrupa samosprzężona) jest podgrupą niezmienną w sprzężeniu przez członków grupy, której to jest część.
Dlaczego normalne podgrupy są ważne?
Normalne podgrupy są ważne, ponieważ są dokładnie jądrami homomorfizmów. W tym sensie są przydatne do przeglądania uproszczonych wersji grupy za pomocą grup ilorazowych.
Czy podgrupa normalnej grupy jest normalna?
Bardziej ogólnie, każda podgrupa w środku grupy jest normalna. Nie jest jednak prawdą, że jeśli każda podgrupa w grupie jest normalna, to grupa musi być abelowa.
