Jeżeli A jest macierzą m × n, to ATA i AAT mają te same niezerowe wartości własne … Dlatego Ax jest wektorem własnym AAT odpowiadającym wartości własnej λ. Analogiczny argument może być użyty do wykazania, że każda niezerowa wartość własna AAT jest wartością własną ATA, co stanowi uzupełnienie dowodu.
Czy wartości własne AAT i ATA są takie same?
Macierze AAT i ATA mają te same niezerowe wartości własne. Sekcja 6.5 wykazała, że wektory własne tych symetrycznych macierzy są ortogonalne.
Czy ATA to to samo co AAT?
Ponieważ AAT i ATA są naprawdę symetryczne, można je diagonalizować za pomocą macierzy ortogonalnych. Z poprzedniego stwierdzenia wynika (ponieważ wielości geometryczne i algebraiczne pokrywają się), że AAT i ATA mają te same wartości własne.
Czy ATA ma różne wartości własne?
Prawda. Na przykład, jeśli A= 1 2 3 2 4 −1 3 −1 5 , to równanie charakterystyczne det(A − λI)=−25 − 15λ + 10λ2 − λ3=0 nie ma powtarzającego się pierwiastka. Stąd wszystkie wartości własne A są różne i A jest diagonalizowalny. 3.35 Dla dowolnej rzeczywistej macierzy A, AtA jest zawsze diagonalizowalna.
Czy różne wektory własne mogą mieć tę samą wartość własną?
Dwa różne wektory własne odpowiadające tej samej wartości własnej są zawsze zależne liniowo. Dwa różne wektory własne odpowiadające tej samej wartości własnej są zawsze zależne liniowo.